REGELMÄSSIGE  KUGELAUFTEILUNG NACH M.C. ESCHER
Titel: Regelmäßige Kugelaufteilung nach M.C. Escher 3D-Illustration mit Animation / Februar 2016
Bildbeschreibung
Dies ist die zweite Arbeit, die ich nach einem Werk des von mir hochverehrten holländischen Graphikers Maurits Cornelis Escher anfertigte und hier einstelle (siehe auch "Kubischen Raumaufteilung nach M.C. Escher").

Seit meiner ersten Begegnung mit Eschers Werk Ende der 60-ger Jahre faszinierte mich der Holzstich aus dem Jahr 1952 ganz besonders, den Escher "Konzentrische Schalen (Konzentrische Raumfüllung/Regelmäßige Kugelaufteilung)" * nannte.

Bereits beim Arbeiten an der Kubischen Raumaufteilung letzten Sommer freute ich mich darauf, die vier ineinander liegenden Schalen in eine 3D-Illustration und eine Animation zu transformieren und sie vorsichtig zu kolorieren. Dabei war ich bestrebt, den Eindruck des Holzstichs von Escher bestmöglich zu erhalten.

* Leider kann Eschers Arbeit aus urheberrechtlichen Gründen hier nicht gezeigt werden. Deshalb erfolgt eine Verlinkung zur Uni-Freiburg.
Die vier ineinanderliegenden Schalen bestehen aus Glas mit Bändern. Die Bänder tragen Skalen, die außen weiß und innen schwarz gefärbt sind. Die Szene wird intensiv von innen beleuchtet. Außerdem erhellt ein Lichtstrahler von links oben die Oberflächen.

Das Glas ist in der Illustration in seiner Wirkung stark zurückgenommen und nur als graue Flächen vor dem Hintergrund sichtbar. Auch bei Escher ist das Glas der Schalen nur als zarter weißer Punktraster zu entdecken. In der links stehenden Animation dagegen sind an den Schalenrändern die für Glas typischen Verzerrungen der Hintergründe eingearbeitet.

Die Bänder sind bei meinen beiden Umsetzungen pro Schale von gleicher Dicke und verjüngen sich entsprechend der Verkleinerungen der vier Schalen. Auch die Skalierung verhält sich hier proportional. Nicht nur hierin unterscheidet sich meine Gestaltung von der des Vorbilds. Bei meiner Umsetzung gibt es 60- und 90-Grad-Schnittpunkte der Bänder. Auf die 45-Grad-Schnittpunkte, die bei Eschers Werk zu entdecken sind, verzichtete ich. Die unterschiedliche Einfärbung der Kugelbänder pro Schale erfolgte mit gedeckten Tönen.

Alle vier Schalen rotieren in der Animation um zwei Achsen. Bei einer Achse geschieht dies von außen nach innen mit zunehmender Geschwindigkeit im Verhältnis 1:2:3:4 und um die zweite Achse bewegen sich alle gleich schnell.

Die Bewegungsabläufe sind so gestaltet, dass sich die Positionen aller Schalen nach einem Animationsdurchlauf wieder angleichen.

3D-Animation mit Drehung über zwei Achsen
Ein Ausflug ins Land der Geometrie
Betrachten wir nun die Ordnung der Bänder, die sich nicht sogleich offenbart. Die Suche danach entführt uns auf eine interessante Reise ins Land der Geometrie:

Bei einer genaueren Analyse sind bei der äußeren Schale 3 Ringe zu erkennen, die sich mit 60-Grad- (siehe rote Pfeile in der Animation unten links) und 2 Ringe die sich mit 90-Grad-Winkeln schneiden (siehe gelbe Pfeile in der Animation unten mitte). Die Schnittpunkte mit den 60-Grad-Winkeln wiederholen sich auf jedem Band zweimal, bevor die 90-Grad-Schnittpunkte an der Reihe sind. Diese Reihenfolge 2:1 zieht sich durch das gesamte Bild. Welche Geometrie verbirgt sich dahinter?

Um es kurz zu machen: Die 60- und die 90-Grad-Schnittpunkte liegen allesamt auf der Oberfläche einer Kugel. Die 60-Grad-Schnittpunkte liegen auf den 8 Ecken eines unsichtbaren Würfels, der in der unteren linken Animation zu sehen ist. Dieser Würfel teilt seinen Mittelpunkt mit dem der Kugel. Auf den 6 Seitenflächen des Würfels sitzen Pyramiden, auf dessen Spitzen sich die 90-Grad-Schnittpunkte finden. In der unteren mittleren Animation pulsieren diese Pyramiden mit ihren jeweiligen Höhen. Die 8 Ecken des Würfels und die 6 Pyramidenspitzen ergeben zusammen 14 Ecken. Deshalb taufte ich diesen polygonalen Körper "14-Ecker". Diese Ordnung wiederholt sich selbstverständlich bei den inneren Schalen wie bei der unteren rechten Animation recht schön zu sehen ist.

60-Grad-Schnittpunkte an Würfelecken
siehe rote Pfeile
90-Grad-Schnitpunkte an Pyramidenspitzen
siehe gelbe Pfeile
Bänder-Schnittpunkte mit 60° und 90°
siehe gelbe und rote Pfeile
14-Ecker
Ein 14-Ecker ist einen Würfel auf dessen sechs Seitenflächen passende Pyramiden aufgesetzt werden und dessen 8 Ecken und die Spitzen der Pyramiden die Oberfläche einer Kugel treffen (siehe Animation unten links). Mit 24 kongruenten gleichschenkelige 3-Ecken erinnert er an einen Archimedischen Körper.
Die Spezifikation der 3-Ecke (siehe dazu Animation links):
Ein Würfel und eine Kugel teilen sich einen Mittelpunkt (A).
Die 8 Ecken des Würfels liegen auf der Oberfläche der Kugel. Zwei der Ecken eines Dreiecks liegen auf den Ecken des Würfels. Die Verbindung dieser beiden Ecken bilden die erste Kante eines 3-Ecks. Das dritte Eck des 3-Ecks liegt auf dem Schnittpunkt einer Geraden mit der Oberfläche der Kugel (C), wobei die Gerade vom Mittelpunkt des Würfels und der Kugel (A) durch den Mittelpunkt der Würfelfläche (B) verläuft, dessen eine Kante mit der ersten Kante des 3-Ecks identisch ist.
14-Ecker
bestehend aus 1 Würfel
und 6 Pyramiden
Spezifikation der 3-Ecke
(siehe auch nebenstehenden Text)