3D-KREUZ FRAKTAL
Titel: 3D-Kreuz-Fraktal
Räumliche Iteration
3D-Kreuz Iterations-Schritt 1 Iterations-Schritt 2 Iterations-Schritt 10
beschränkt auf einen Ast

Flächige Iteration
2D-Kreuz Iterations-Schritt 1 Iterations-Schritt 2 Iterations-Schritt 3
Bildbeschreibung 3D-Kreuz-Fraktal
Wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Klone seiner selbst besteht, sprechen wir von einem Fraktal.

Das 3D-Kreuz-Fraktal ist ein räumliches Fraktal. Es besitzt in seinen 8 Ecken verkleinert sich selbst. Wir sprechen bei solch einer Skalierung von Iteration (Iteration = Wiederholung). Die linke Animation zeigt ein solches 3D-Kreuz-Fraktal mit 2 Iterations-Schritten. Es benötigt bereits 64 klitzekleine 3D-Kreuze. Nach der 10. Iteration wären über 8 Milliarden (8.000.000.000) 3D-Kreuze anzufertigen und zu verwalten. Dieses Beispiel zeigt die enorme Potenzierung, was die Anzahl und Größenverhältnisse von Objekten am Rand von iterationsreichen Fraktalen betrifft!

Mit einen Ast davon (Ast = folge dem oberen 3D-Kreuz einer Ecke durch die Iterations-Schritte) erreichte ich 10 Iterations-Schritte, die in der unteren Animation per spannender Kamerafahrt im Detaill anzusehen sind.

3D-Kreuz-Fraktal Iterations-Schritt 2
3D-Kreuz-Fraktal mit 10 Iterations-Schritten
Kamera-Fahrt durch 10 Iterationen
Wir nähern uns in linksstehender Animation dem 10. verkleinerten 3D-Kreuz und entdecken bei konstanter Geschwindigkeit in 10 mal kürzeren Abständen 10 mal kleinere 3D-Kreuze um im nächsten Augenblick wieder an der Oberfläche aufzutauchen und das sich drehende 3D-Kreuz-Fraktal zu sehen.

Das Eintauchen bis zum Umkehrpunkt und zurück geschieht nicht konstant. Nahe des Umkehrpunktes verdichten sich die Bewegungsabläufe und wir sehen Interferenzen (Interverenz = Überlagerung von Wellen).

Die beiden rechtsstehenden Animationen zeigen die Bilderstrecke einmal mit und einmal ohne Interferenz. Beim Bearbeiten der Bilder untersuchte ich die Bildfolge und fand zwei Bild-Paare, die aus der homogenen Bildfolge herausfielen. Diese entnahm ich und das Resultat ist die rechtsstehende untere Animation ohne Interferenz.

mit Interferenz
ohne Interferenz
Interferenz
Interessant fand ich die Anordnung der entnommenen beiden Bild-Paare am Umkehrpunkt, die ich in der links abgebildeten Skizze zeige:
Es scheint so, dass am Umkehrpunkt von den linken einzoomenden Bildern zwei ins Feld der auszoomenden Bilder nach rechts versprengt wurde und umgekehrt.
24 Bilder bei der Zoomumkehr

Soweit zu dem von mir entwickelten 3D-Kreuz-Fraktal. Nachfolgend stelle ich ein weiteres räumliches Fraktal, den "Menger-Schwamm", sowie ein flächiges Fraktal, das "Sierpinski-Dreieck" vor. Der Menger-Schwamm und das Sierpinski-Dreieck - beide nach ihren Erfindern benannt - sind sehr populäre Fraktale.
MENGER-SCHWAMM
2 Iterations-Schritte des Menger-Schwamm-Fraktals
Räumliche Iteration
Iterations-Schritt 0 Iterations-Schritt 1 Iterations-Schritt 2
Flächige Iteration
Iterations-Schritt 0 Iterations-Schritt 1 Iterations-Schritt 2
Bildbeschreibung Menger-Schwamm
Das als "Menger-Schwamm" bekannte räumliche Fraktal wurde nach Karl Menger benannt, der es erstmals beschrieb. Karl Menger lebte im 20. Jahrhundert und lehrte u.a. als Professor Mathematik in Europa und den USA.

Der Menger-Schwamm besteht aus einem Kubus, der 3x3x3 unterteilt ist. Aus diesen 27 Kuben sind 7 Stück - die in der Mitte einer jeden Fläche liegenden (6) und der mittlere Kubus (1) - entfernt. Diese Struktur der verbliebenen 20 Kuben vererbt dieses Fraktal auf die zur nächsten Iterationsstufe verkleinerten und duplizierten 400 Klone seiner selbst.

Der Menger-Schwamm ist auch als Modell zur Volumen-Messung außerhalb der fraktalen Geometrie bekannt

Menger-Schwamm Iterations-Schritt 2 https://de.wikipedia.org/wiki/Karl Menger
SIERPINSKI-DREIECK
3 Iterationen des Sierpinski-Dreiecks
Räumliche Iteration
Iterations-Schritt 1 Iterations-Schritt 2 Iterations-Schritt 3
Flächige Iteration
Iterations-Schritt 1 Iterations-Schritt 2 Iterations-Schritt 3
Bildbeschreibung Sierpinski-Dreieck
Das als "Sierpinski-Dreieck" bekannte flächige Fraktal wurde nach Waclaw F. Sierpinski benannt, der es erstmals beschrieb. Waclaw F. Sierpinski (1882 - 1969) war ein polnischer Mathematiker.

Das Sierpinski-Dreieck besteht aus einem gleichschenkeligen Dreieck. Die 3 Linien diese Dreiecks werden jeweils halbiert. Die erhaltenen 3 neuen Punkte werden verbunden. Diese Linien bilden vier kleinere Dreiecke. (Siehe Abbildung oben links bei der Bildunterschrift "Iterations-Schritt 1"). Das mittlere Dreieck wird aus der Gruppe entfernt. Diese Struktur der verbliebenen 3 Dreiecke vererbt dieses Fraktal auf die zur nächsten Iterationsstufe verkleinerten und duplizierten 9 Klone seiner selbst. Der Iterations-Schritt 3 bedarf 27 verkleinerter und duplizierter dieser Klone seiner selbst.

Die Transformation von 2D auf 3D über einen Tetraeder nahm ich vor.

Sierpinski-Dreieck auf Tetraeder
mit Iterations-Schritt 3
https://de.wikipedia.org/wiki/Wac%C5%82aw_Sierpi%C5%84ski

Literatur:
Titel: Fraktale - Formen aus Mathematik und Natur
Autor: Reinhart Behr
Klett Verlag 1. Auflage 1997
ISBN 3-12-722420-6
Titel: Ein Weg zur fraktalen Geometrie
Autor: Reinhart Behr
Klett Verlag 1. Auflage 1999
ISBN 3-12-722410-9